Question

Với a, b, c là các số nguyên dương chứng minh rằng :

\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{2\left(a^3+b^3\right)}-\frac{3\left(a-b\right)}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab+3b^2-a^2\right)}{4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}\right)\ge0\)

Answer 2

P/s: hình như kí hiệu \(\Sigma_{sym}f\left(a;b;c\right)=f\left(a;b;c\right)+f\left(a;c;b\right)+f\left(b;c;a\right)+f\left(b;a;c\right)+f\left(c;a;b\right)+f\left(c;b;a\right)\) thì phải! Nếu như thế thì cách em như sau:

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

Cần: \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{sym}a^2b^2\ge\Sigma_{sym}ab^3\)

Đến đây chắc dùng Muirhead or sos gì ấy ạ! Muirhead em ko chắc nên chắc chiều đi học về dùng sos....