Question

Từ một điểm A bên ngoài (O) , vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD . Tia phân giác của góc BAC cắt BC và BD lần lượt tại M và N . Vẽ dây BF vuông góc với MN , cắt MN tại H , cắt CD tại E .Chứng minh:

Tam giác BMN cân và FD^2=FE.FB

Answer 1

Bạn tự vẽ hình nha bạn .

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMN}=\widehat{BAM}+\widehat{ABM}\\\widehat{BNM}=\widehat{CAM}+\widehat{CDN}\end{matrix}\right.\) ( Tổng 2 góc bên ngoài tam giác bằng góc bên trong của tam giác không kề với nó )

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\\\widehat{ABM}=\widehat{CDN}\end{matrix}\right.\) ( Tia phân giác và chắn cung BC )

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{BNM}\) hay \(\Delta BMN\) cân tại B .

Xét \(\Delta BDFvs\Delta DEF\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{F}:chung\\\widehat{DBF}=\widehat{EDF}\left(=\widehat{CBF}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BDF\sim\Delta DEF\) ( đpcm )

\(\Rightarrow\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{BF}{DF}\)

\(\Rightarrow DF^2=BF.EF\) ( đpcm )