a: Xét (O) có
CA,CB là các tiếp tuyến
Do đó: CO là phân giác của góc ACB và CA=CB
ta có: CA=CB
=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AB
=>OC\(\perp\)AB
Ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{OAD}=\widehat{CAO}=90^0\)
\(\widehat{BAD}+\widehat{ODA}=90^0\)(AB\(\perp\)OC)
mà \(\widehat{OAD}=\widehat{ODA}\)(ΔOAD cân tại O)
nên \(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}\)
=>AD là phân giác của góc BAC
Xét ΔABC có
AD,CD là các đường phân giác
Do đó: D là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
b: Xét ΔOAC vuông tại A có \(sinACO=\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{ACO}=30^0\)
=>\(\widehat{ACB}=2\cdot30^0=60^0\)
Ta có: ΔOAC vuông tại A
=>\(OA^2+AC^2=OC^2\)
=>\(AC^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(AC=R\sqrt{3}\)
Xét ΔCAB có CA=CB và \(\widehat{ACB}=60^0\)
nên ΔCAB đều
=>\(p=\dfrac{CA+CB+AB}{2}=\dfrac{3R\sqrt{3}}{2};S=\dfrac{CA^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3R^2\cdot\sqrt{3}}{4}\)
=>\(r=\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{4}:\dfrac{3R\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{2}{3R\sqrt{3}}\)
=>\(r=\dfrac{1}{2}\cdot R\)
