Từ điểm A ở ngoài đường tròn (0;R) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC (B,C là các tiếp điểm ) và các tuyến ADE thuộc nữa mặt phẳng bỏ là đường thẳng OA không chứa điểm B của đường tròn (O) . Gọi H là giao điểm của OA và BC .
a, Chứng minh bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn .
b, Chứng minh : AO vuông BC tại H và AH.AO =AD.AE
c, Đường thẳng đi qua điểm D và song song với đường thẳng BE cắt AB,BC lần lượt tại I,X .Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp và D là trung điểm của IK.
a) Gọi M là trung điểm của OA
Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)
mà BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(M là trung điểm của OA)
nên \(BM=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)
Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)
mà CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(M là trung điểm của OA)
nên \(CM=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Ta có: M là trung điểm của OA(gt)
nên \(OM=AM=\dfrac{OA}{2}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MA=MB=MO=MC
hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
b) Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: AB=AC(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
⇔OA⊥BC
mà OA cắt BC tại H(gt)
nên OA⊥BC tại H(đpcm)
