b) Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình:
\(x^2=2\left(m+3\right)x-2m-5\Leftrightarrow x^2-2\left(m+3\right)x+2m+5=0\) (1)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(2m+5\right)=m^2+6m+9-2m-5=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'>0\)
mà \(\Delta'=\left(m+2\right)^2\ge0,\forall m\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m+2\right)^2\ne0\Leftrightarrow m\ne-2\)
=> (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt khi \(m\ne-2\)
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=2\left(m+3\right)=2m+6\\P=x_1x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)
\(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}=\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1x_2}}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1x_2}}\right)^2=\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_2+2\sqrt{x_1x_2}+x_1}{x_1x_2}=\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2m+6+2\sqrt{2m+5}}{2m+5}=\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow32m+80=18m+54+18\sqrt{2m+5}\)
\(\Leftrightarrow18\sqrt{2m+5}=14m+26\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2m+5}=\frac{7}{9}m+\frac{13}{9}\) (2)
ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{7}{9}m+\frac{13}{9}\ge0\\m\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ge-\frac{13}{7}\)
Bình phương 2 vế của phương trình (2):
\(2m+5=\frac{49}{81}m^2+\frac{182}{81}m+\frac{169}{81}\)
\(\Leftrightarrow\frac{49}{81}m^2+\frac{20}{81}m-\frac{236}{81}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(TM\right)\\m=-\frac{118}{49}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài
May mà nghiệm đẹp, phương trình xấu quá nên còn tưởng làm sai ;w;
