Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quoc Tran Anh Le

Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) và cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có hình chiếu vuông góc \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\)trên \(\Delta \)(hình 9).

a)  Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương và tìm tọa độ của chúng

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \).

Chứng minh rằng \(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)

c) Giải thích công thức \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Hà Quang Minh
26 tháng 9 2023 lúc 23:59

a) Ta có: \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Mà là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\Delta \) nên \(H{M_0} \bot \Delta \)

Mặt khác vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) cùng vuông góc với \(\Delta \)

Suy ra \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương (đpcm)

b) Ta có: \(\overrightarrow n  = (a;b)\) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Suy ra \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  = a\left( {{x_0} - {x_H}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_H}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)                (1)

Mà  thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Thay tọa độ điểm vào phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) ta có:

\(a{x_H} + b{y_H} + c = 0 \Leftrightarrow c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)

Thay \(c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\) vào (1) ta có

\(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)       (đpcm)

c) Ta có: \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {H{M_0}}  = \frac{p}{{\overrightarrow n }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\frac{p}{{\overrightarrow n }}} \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)


Các câu hỏi tương tự
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết