Question

trong mặt phẳng cho20015 điểm A₁,A₂,...,A₂₀₁₅ cố định và điểm M thay đổi .cm

\(|\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+....+\overrightarrow{MA_{2014}}-2014\overrightarrow{MA_{2015}}|\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+....+\overrightarrow{MA_{2014}}\)

\(=(\overrightarrow{MA_{2015}}+\overrightarrow{A_{2015}A_1})+(\overrightarrow{MA_{2015}}+\overrightarrow{A_{2015}A_2})+.....+(\overrightarrow{MA_{2015}}+\overrightarrow{A_{2015}A_{2014}})\)

\(=2014\overrightarrow{MA_{2015}}+\overrightarrow{A_{2015}A_1}+\overrightarrow{A_{2015}A_2}+...+\overrightarrow{A_{2015}A_{2014}}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+....+\overrightarrow{MA_{2014}}-2014\overrightarrow{MA_{2015}}=\overrightarrow{A_{2015}A_1}+\overrightarrow{A_{2015}A_2}+.....+\overrightarrow{A_{2015}A_{2014}}\)

Suy ra\(|\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+....+\overrightarrow{MA_{2014}}-2014\overrightarrow{MA_{2015}}|=|\overrightarrow{A_{2015}A_1}+\overrightarrow{A_{2015}A_2}+.....+\overrightarrow{A_{2015}A_{2014}}|\)

Vậy \(|\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+....+\overrightarrow{MA_{2014}}-2014\overrightarrow{MA_{2015}}|\) không phụ thuộc vào M