Tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH và trung tuyến AM
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
\(\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{40}{41}\Leftrightarrow\dfrac{AH}{\dfrac{BC}{2}}=\dfrac{40}{41}\Leftrightarrow AH=\dfrac{20}{41}BC\) (1)
Xét hai tam giác vuông ABH và CBA có \(\widehat{B}\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta CBA\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Leftrightarrow AB.AC=AH.BC\) (2)
Thay (1) vào (2): \(AB.AC=\dfrac{20}{41}BC^2\Leftrightarrow\dfrac{41}{20}AB.AC=BC^2\)
Theo định lý Pitago: \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AB^2+AC^2=\dfrac{41}{20}AB.AC\) (3)
Do các cạnh tam giác đều lớn hơn 0, chia 2 vế của (3) cho \(AB.AC\):
\(\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{41}{20}\Rightarrow\) đặt \(\dfrac{AB}{AC}=x>0\) ta được:
\(x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{41}{20}\Leftrightarrow x^2-\dfrac{41}{20}x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{4}\\x=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tỉ số giữa 2 cạnh góc vuông là \(\dfrac{4}{5}\) ( hoặc \(\dfrac{5}{4}\))
