Question

Tổng của hai phân số tối giản là một số nguyên. Chứng tỏ rằng mẫu của hai phân số đó là hai số bằng nhau hoặc là hai số đối nhau.

Answer 1

Gọi 2 phân số đó là \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) với \(\left(a;b\right)=1;\left(c;d\right)=1\)

Ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=x\left(x\in Z\right)\)

\(\frac{a}{b}.bd+\frac{c}{d}bd=xbd\)

\(\rightarrow ad+bc=xbd\)

\(\rightarrow\begin{cases}ad=xbd-bc=b\left(xd-c\right)\\bc=xbd-ad=d\left(xb-a\right)\end{cases}\)

Ta có : \(ad=b\left(xd-c\right)\rightarrow ad⋮b\)

Mà : \(\left(a;b\right)=1\) nên \(d⋮b\left(1\right)\)

Tương tự thì \(b⋮d\left(2\right)\)

Từ (1)(2) \(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\)

-> Điều phải chứng minh .