Đặt : t= tan\(\frac{x}{2}->dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)
Khi đó \(I=\int\frac{4\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{4t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}=\int\frac{2dt}{t^2+2t}=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right)dt\)
\(ln\left|\frac{1}{t+2}\right|+C=ln\left|\frac{tan\frac{x}{2}}{tan\frac{x}{2}+2}\right|+C\)
Tính tích phân sau :
\(I=\int\frac{2dx}{2\sin x-\cos x+1}\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(\int x\left(3-x\right)^5dx\)
b) \(\int\left(2^x-3^x\right)^2dx\)
c) \(\int x\sqrt{2-5x}dx\)
d) \(\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx\)
e) \(\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx\)
\(\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx\)
h) \(\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx\)
i) \(\int\sin3x\cos2xdx\)
k) \(\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx\)
l) \(\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx\) (\(a^2\ne b^2\))
Tính tích phân bất định hàm số lượng giác sau :
\(I=\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{a_2\sin x+b_2\cos x}dx\)
Tính tích phân bất định hàm lượng giác sau :
\(I=\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}dx\)
Tìm nguyên hàm sau:
$\displaystyle\int
\left(3x^2 - \frac{4}{x} + \sin3x - \cos4x + e^{2x+1} + 3^{2x-2} + 3\sqrt{x^4} + \frac{1}{\cos^2x} - \frac{1}{\sin^2x}\right) dx$
1) \(\int\frac{xdx}{1+\sqrt{x-1}}\)
2) \(\int\frac{sin2xdx}{\cos^3x-\sin^2x-1}\)
3) \(\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\)
4) \(\int\frac{dx}{3x^3+x^2-4x}\)
5) \(\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số :
a) \(\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}dx\) với \(x>-1\) (đặt \(t=1+x^3\))
b) \(\int xe^{-x^2}dx\) (đặt \(t=x^2\))
c) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^2}dx\) (đặt \(t=1+x^2\))
d) \(\int\dfrac{1}{\left(1-x\right)\sqrt{x}}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x}\))
e) \(\int\sin\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x^2}dx\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\))
g) \(\int\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}dx\) (đặt \(t=\ln x\))
h) \(\int\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2x}}dx\) (đặt \(t=\cos x\) )
i) \(\int\cos x\sin^3xdx\) (đặt \(t=\sin x\))
k) \(\int\dfrac{1}{e^x-e^{-x}}dx\) (đặt \(t=e^x\) )
l) \(\int\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin x-\cos x}}dx\) (đặt \(t=\sin x-\cos x\))
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính :
a) \(\int\sin^4xdx\)
b) \(\int\dfrac{1}{\sin^3x}dx\)
c) \(\int\sin^3x\cos^4xdx\)
d) \(\int\sin^4x\cos^4xdx\)
e) \(\int\dfrac{1}{\cos x\sin^2x}dx\)
g) \(\int\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}dx\)
giải giúp mình 2 con nguyên hàm này vơi
\(A=\int \frac{x\sin x+\cos x}{x^2-\cos ^2x}dx\)
\(B=\int \frac{\ln x-1}{x^2-\ln ^2x}dx\)
