Question

Tính giới hạn của dãy số:

\(u_n=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

Answer 1

Một câu thôi: Liên hợp

\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{2.1-\sqrt{2}}{2^2-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9.2-4.3}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Nên chứng minh bằng quy nạp mạnh cho chặt chẽ, giờ tui buồn ngủ quá nên bạn tự chứng minh nha :(

\(\Rightarrow u_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}=1\)