Question

Tìm x,y dương thỏa mãn :\(2^x+5^y\) là số chính phương.

Answer 1

Đặt 2^x + 5^y = a²

TH1 Nếu a lẻ => a² : 4 dư 1

Có 5 \(\equiv1\)(mod 4) => 5^y \(\equiv1\)(mod 4)

=> 2^x chia hết cho 4 => x \(\ge2\)

Xét x = 2 => 5^y + 4 = a²

Có a² : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

4 : 8 dư 4

=> 5^y : 8 dư -4 hoặc -3 hoặc 0

Vì 5^y lẻ => 5^y : 8 dư -3 <=> 5^y : 8 dư 5

=> \(\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2k+1\left(k\in N\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu y= 1, x = 2

Thử lại x = 2, y = 1 (TM)

Nếu y = 2k + 1 => pt <=> 5^{2k + 1} + 4

<=> 25^k.5 + 4

Có 25 \(\equiv1\)(mod 3) => 25^k \(\equiv1\)(mod 3)

=> 25^k.5 \(\equiv5\)(mod 3) => 25^k.5 + 4 chia hết cho 3

<=> 5^y + 4 chia hết cho 3

Vì 5^y + 4 là số chính phương => 5^y + 4 chia hết cho 9

=> 5^y \(\equiv5\)(mod 9)

mà 5^y \(\equiv5\)(mod 8)

=> y = 1

=> x = 2, y = 1(TM)

TH2 x > 2 <=> x \(\ge3\)

=> 2^x chia hết cho 8

Có a² : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

=> 5^y : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Vì 5^y lẻ => 5^y : 8 dư 1 => y chẵn

Nếu a² : 3 dư 1

Có 5^y : 3 dư 1

=> 2^x chia hết cho 3 (vô lý)

=> a² chia hết cho 3

mà 5^y : 3 dư 1 => 2^x : 3 dư 2

=> x lẻ

Đặt x = 2m + 1 ( m \(\in N\) )

=> 2^{2m + 1} + 5^y = a²

<=> 4^m.2 + 5^y = a²

Có 4^m tận cùng là 4 hoặc 6 => 4^m.2 tận cùng là 8 hoặc 2

5^y tận cùng là 5

=> a² tận cùng là 3 hoặc 7 ( vô lý 0

Vậy x = 2, y = 1

đúng nhớ tick nhé