Question

Tìm x để \(A=\dfrac{x-\sqrt{4}x+5}{\sqrt{x}-2}\) với x > 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+1}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\\ \ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right)}=2\cdot1=2\left(BĐT.cauchy\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)

Answer 2

\(A=\dfrac{x-4\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+1}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương:

\(A=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}}=2\)

\(minA=2\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)