Question

Tìm tổng các giá trị thực của tham số m để phương trình mx² - 2mx - 2m - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂

thỏa mãn

x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂² = 4x₁ + 5x₂ - 1

 

Answer 1

Lời giải:

PT có 2 nghiệm pb khi:

$\Delta'=m^2+m(2m+1)>0\Leftrightarrow m(3m+1)>0\Leftrightarrow m>0$ hoặc $m< \frac{-1}{3}(*)$

Theo định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=\frac{-(2m+1)}{m}\end{matrix}\right.\) . Khi đó:

$x_1^2+2x_1x_2^2+3x_2^2=4x_1+5x_2-1$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2+2x_2^2=4(x_1+x_2)+x_2-1$

$\Leftrightarrow 4+2x_2^2=7+x_2$

$\Leftrightarrow 2x_2^2-x_2-3=0$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{3}{2}$ hoặc $x_2=-1$

$x_2=\frac{3}{2}$ thì $x_1=\frac{1}{2}$

$\frac{-(2m+1)}{m}=x_1x_2=\frac{3}{4}\Leftrightarrow m=\frac{-4}{11}$
$x_2=-1$ thì $x_1=3$

$\frac{-(2m+1)}{m}=x_1x_2=-3\Leftrightarrow m=1$

(hai giá trị trên đều thỏa mãn)