Lời giải:
Trước tiên ta thấy $\sqrt{3}$ là số vô tỷ (cách chứng minh tương tự với chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỷ. Bài toán này hình như đã được đề cập trong nâng cao phát triển toán. Hoặc bạn có thể xem tại đây:
Chứng minh căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ (bằng phản chứng) - Toán Học Việt Nam
Ứng dụng vào bài:
Đặt $a+\sqrt{3}=q_1(1)$ và $a^2+\sqrt{3}=q_2(2)$ với $q_1,q_2$ là các số hữu tỷ.
$(1)\Rightarrow a^2=q_1^2+3-2\sqrt{3}q_1$. Thay vào $(2)$:
$q_1^2+3-2\sqrt{3}q_1+\sqrt{3}=q_2$
$\Leftrightarrow q_1^2+3-q_2=\sqrt{3}(2q_1-1)$
Dễ thấy $q_1^2+3-q_2\in\mathbb{Q}$ nên $\sqrt{3}(2q_1-1)\in\mathbb{Q}$
Mà: $\sqrt{3}$ vô tỷ, $2q_1-1$ hữu tỷ. Tích 1 số vô tỷ nhân với một số hữu tỷ bằng số hữu tỷ chỉ xảy ra khi $2q_1-1=0\Leftrightarrow q_1=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow a=\frac{1}{2}-\sqrt{3}$
