Question

tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^2+2^p là số nguyên tố

Answer 1

Lời giải:

Nếu $p$ chẵn \(\Rightarrow p=2\Rightarrow p^2+2^p=2^2+2^2=8\not\in\mathbb{P}\) (loại)

Nếu $p$ lẻ:

+) \(p\vdots 3\Rightarrow p=3\Rightarrow p^2+2^p=17\) là snt (thỏa mãn)

+) \(p\not\vdots 3\). Đặt \(p=3k\pm 1\)

\(p^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1=3(3k^2\pm 2k)+1\) chia 3 dư 1

Còn: \(2^p\equiv (-1)^p\equiv -1\pmod 3\) do $p$ lẻ

Do đó: \(p^2+2^p\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod 3\)

Mà \(p^2+2^p>3\) nên không thể là snt (loại)

Vậy $p=3$ là kết quả duy nhất thỏa mãn.