+) Xét \(n=3k.\)
\(\Rightarrow2^n-1=2^{3k}-1=\left(2^3\right)^k-1=8^k-1=\left(8-1\right)\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]=7\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]⋮7\left(tm\right).\)
+) Xét \(n=3k+1.\)
\(\Rightarrow2^n-1=2^{3k+1}-1=2.8^k-1=2\left(8k-1\right)+1=2.\left(8-1\right)\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]+1=2.7\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]+1⋮̸7\left(loại\right).\)
+) Xét \(n=3k+2.\)
\(\Rightarrow2^n-1=2^{3k+2}-1=4.8^k-1=4\left(8^k-1\right)+3=4\left(8-1\right)\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]+3=4.7\left[\left(8^{k-1}\right)+\left(8^{k-2}\right)+...+1\right]+3⋮̸7\left(loại\right).\)
Vậy \(2^n-1⋮7\Leftrightarrow n=3k\) (k \(\in\) N*).
Số nguyên dương n có 3 dạng : 3k; 3k + 1 và 3k + 2 (k là số nguyên)
+ Xét n = 3k
\(\text{Ta có: }2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1=\left(8-1\right).\left[8^{k-1}+8^{k-2}...+1\right]=7.\left[8^{k-1}+8^{k-2}...+1\right]\)Mà 7 ⋮ 7 ⇒ \(7.\left[8^{k-1}+8^{k-2}...+1\right]⋮7\)
+ Xét n = 3k+1
\(\text{Ta có: }2^n-1=2^{3k+1}-1=2.2^{3k}-2+1=2\left[2^{3k}-1\right]+1\)Vì \(2^{3k}-1⋮7\text{ nên }2\left(2^{3k}-1\right)+1⋮7\Rightarrow2.\left(2^{3k}-1\right)+1\text{ chia 7 dư 1}\)
+ Xét n = 3k + 2
\(\text{Ta có: }2^n-1=2^{3k+2}-1=2.4^{3k}-4+3=4\left(2^{3k}-1\right)+3\)Vì \(2^{3k}-1⋮7\text{ nên }2\left(2^{3k}-1\right)⋮7\Rightarrow2\left(2^{3k}-1\right)+3\text{ chia 7 dư 3}\)
Vậy (2^n)-1 chia het cho 7 khi và chỉ khi n = 3k (k thuộc N*)
Mình có cách này nhưng dường như không chắc lắm (nó thiêu thiếu hay sao ý):( mình mới học dạng này thôi,sai thì bạn thông cảm nhé!
Nhận xét 7 là số nguyên tố và (2;7) = 1. Nên theo định lí nhỏ Fecma:
\(2^6\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow2^{6k}\equiv1\left(mod7\right)\)\(\left(k\in\mathbb{Z}^+\right)\)
Khi đó \(2^{6k}-1\equiv0\left(mod7\right)\)
Vậy với mọi n = 6k \(\left(k\in\mathbb{Z}^+\right)\) thì 2n - 1 chia hết cho 7
