\(\dfrac{ }{abcd}=\dfrac{ }{cd}^2\)
\(100.\dfrac{ }{ab}+\dfrac{ }{cd}=\dfrac{ }{cd}.\dfrac{ }{cd}\)
\(100.\dfrac{ }{ab}=\dfrac{ }{cd}\left(\dfrac{ }{cd-1}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}\left(\dfrac{ }{cd}-1\right)⋮25=5.5,\dfrac{ }{cd}\left(\dfrac{ }{cd-1}\right)⋮4=2.2\)
Mà \(\dfrac{ }{cd},\dfrac{ }{cd-1}\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}⋮25\) hoặc \(\dfrac{ }{cd}-1⋮25\)
Ta xét ra 2 trường hợp sau:
* Trường hợp 1: \(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}\in\left\{25;50;75\right\}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}-1\in\left\{24,49,74\right\}\)
Thay vào được \(\dfrac{ }{ab}\in\left\{6;\dfrac{50.49}{100},\dfrac{75.74}{100}\right\}\) ( loại vì ab là số tự nhiên có 2 chữ số )
* Trường hợp 2: \(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}-1\in\left\{25;50;75\right\}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ }{cd}\in\left\{26;51;76\right\}\)
Thay vào được \(\dfrac{ }{ab}\in\left\{\dfrac{25.26}{100},\dfrac{50.51}{100},57\right\}\)
\(\Rightarrow\) Chỉ có \(\dfrac{ }{ab}\) = \(57\) là thỏa mãn
Vậy số cần tìm là \(5776\)
