Câu hỏi của Nguyễn Hương Giang

Question

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$\left(x-2\right)^4-x^4=y^3$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Đặt $x-1=t\Rightarrow x-2=t-1; x=t+1$

Ta có: $(x-2)^4-x^4=y^3$

$\Leftrightarrow (t-1)^4-(t+1)^4=y^3$

$\Leftrightarrow [(t-1)^2-(t+1)^2][(t-1)^2+(t+1)^2]=y^3$

$\Leftrightarrow -4t(2t^2+2)=y^3$

$\Leftrightarrow y^3+8t(t^2+1)=0$

$\Rightarrow y^3\vdots 8\Rightarrow y\vdots 2$. Đặt $y=2y_1\Rightarrow 8y_1^3+8t(t^2+1)=0$

$\Leftrightarrow y_1^3+t(t^2+1)=0$

Gọi ƯCLN của $(y_1,t)=d$. Khi đó $\left\{\begin{matrix}
y_1=da\
t=db\end{matrix}\right.(a,b)=1$

$\Rightarrow d^3a^3+d^3b^3+db=0$

$\Leftrightarrow d^2a^3+d^2b^3+b=0$

$\Leftrightarrow d^2(a^3+b^3)=-b$ (*)

Gọi ƯCLN của $(a^3+b^3, b)=u\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^3+b^3\vdots u\
b\vdots u\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^3\vdots u\
b\vdots u\end{matrix}\right.$

Mà (a,b) nguyên tố cùng nhau nên suy ra $u=1$

Hay $a^3+b^3; b$ nguyên tố cùng nhau.

Do đó từ (*) suy ra $\left\{\begin{matrix}
d^2=\pm b\
a^3+b^3=\mp 1\end{matrix}\right.$

TH1: $\left\{\begin{matrix}
d^2=b\
a^3+b^3=-1\end{matrix}\right.$ $(b\geq 0)$

$\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=-1$

Vì $a^2-ab+b^2\geq 0\forall a,b\in\mathbb{Z}\Rightarrow a+b=-1; a^2-ab+b^2=1$

$\Rightarrow (a+b)^2-3ab=1$

$\Leftrightarrow (-1)^2-3ab=1$

$\Leftrightarrow ab=0$. Kết hợp với $a+b=-1; b\geq 0\Rightarrow b=0; a=-1$

$\Rightarrow d=0\Rightarrow y=0; x=1$

TH2: $\left\{\begin{matrix}
d^2=-b\
a^3+b^3=1\end{matrix}\right.(b\leq 0)$

$\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=1$. Vì $a^2-ab+b^2\geq 0\forall a,b\in\mathbb{Z}$ nên :

$a+b=a^2-ab+b^2=1$

$\Rightarrow (a+b)^2-3ab=1\Leftrightarrow 1-3ab=1\Rightarrow ab=0$

Kết hợp với $a+b=1; b\leq 0\Rightarrow b=0; a=1$

$\Rightarrow d=0\Rightarrow x=1; y=0$

Vậy $x=1;y=0$Câu trả lời: Lời giải: