Question

Tìm m để phương trình có nghiệm:^{\(\sqrt{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}=2x^2-5x+m\)}

Answer 1

ĐKXĐ: \(-\frac{1}{2}\le x\le3\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+5x+3+\sqrt{-2x^2+5x+3}-3=m\)

Đặt \(\sqrt{-2x^2+5x+3}=t\Rightarrow0\le t\le\frac{7\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow t^2+t-3=m\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) trên \(\left[0;\frac{7\sqrt{2}}{4}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left[0;\frac{7\sqrt{2}}{4}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)\le f\left(t\right)\le f\left(\frac{7\sqrt{2}}{4}\right)\Leftrightarrow-3\le f\left(t\right)\le\frac{25+14\sqrt{2}}{8}\)

\(\Rightarrow-3\le m\le\frac{25+14\sqrt{2}}{8}\)