Question

Tìm m để hàm số y = \(\frac{3x}{\sqrt{2sin^2\left(x\right)-msin\left(x\right)+1}}\)xác định trên R

Answer 1

Lời giải:

Để hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ thì:

$2\sin ^2x-m\sin x+1>0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2t^2-mt+1>0$ với mọi $t\in [-1;1]$

Với $t=0$ thì $2t^2-mt+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Với $t\in (0;1]$

$2t^2-mt+1>0\Leftrightarrow m< 2t+\frac{1}{t}$

$\Leftrightarrow m< \min (2t+\frac{1}{t})$ với mọi $t\in (0;1]$

Xét hàm $f(t)=2t+\frac{1}{t}$.

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Lập BBT ta thấy $f(t)_{\min}=2\sqrt{2}$

Với $t\in [-1;0)$

$2t^2-mt+1>0\Leftrightarrow m>2t+\frac{1}{t}$

$\Leftrightarrow m> max (2t+\frac{1}{t})$ với mọi $t\in [-1;0)$

Xét và lập BBT tương tự như trên ta thấy $m>-2\sqrt{2}$ 

Vậy tóm lại $m\in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$

 

 

 

Answer 2

Cách khác:

Để hàm số xác định trên R thì:

$2\sin ^2x-m\sin x+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2(\sin x-\frac{m}{4})^2+1-\frac{m^2}{8}>0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{m^2}{8}< 2(\sin x-\frac{m}{4})^2+1, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{m^2}{8}< min [2(\sin x-\frac{m}{4})^2+1]$

Dễ thấy $2(\sin x-\frac{m}{4})^2+1\geq 1$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên $\frac{m^2}{8}< 1$

$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}$ là đáp án cuối cùng.