ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Ta có: \(x-\sqrt{x}\)
\(=x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
Ta có: \(\sqrt{x}\ge0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{4}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\\sqrt{x}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=0\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x-\sqrt{x}\) là 0 khi \(x\in\left\{0;1\right\}\)
