Question

Tìm GTNN của \(\sqrt{P}\). Biết: P=\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\) (x>0,x≠1)

Answer 1

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)

Theo BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :

\(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\times\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)}}=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\ge2+2=4\)

Vậy GTNN của P là 4 thì GTNN của \(\sqrt{P}\) sẽ là 2 .

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\) ( Bạn tự giải ra nhé :3 )