Question

Tìm GTNN của biểu thức \(M=9\left|x-4\right|+\left|x-1\right|+x\)

Answer 1

\(L=9\left|x-4\right|+\left|x-1\right|+x\)

\(L=\left|x-4\right|+\left|x-1\right|+\left|x-4\right|+x+7\left|x-4\right|\)

\(L=\left|4-x\right|+\left|x-1\right|+\left|4-x\right|+x+7\left|x-4\right|\)

Áp dụng liên tiếp 2 bất đẳng thức: \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) và \(\left|a\right|\ge a\) ta có:

\(L\ge\left|4-x+x-1\right|+4-x+x+7\left|x-4\right|\)

\(L\ge3+4+7\left|x-4\right|=7+\left|x-4\right|\ge7\)

Dấu "=" xảy ra khi tất cả các bđt đều xảy ra dấu "=",nghĩa là:

\(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le4\\x\le4\\x=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4\).Vậy \(min_M=7\) khi \(x=4\)