\(A=ab+bc+cd\le ab+ad+bc+cd=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) ta có :
\(A=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le\left(\frac{a+c+b+d}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\begin{cases}a+c=\frac{1}{2}\\b+d=\frac{1}{2}\\ad=0\\a,b,c,d\ge0\end{cases}\)
Vậy \(Max_A=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2},c=d=0\)
Không mất tính tổng quát , giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\)
Khi đó : \(A=ab+bc+cd\le ab+ac+ad=a\left(b+c+d\right)=a\left(1-a\right)\)
Mà \(a\left(1-a\right)=-a^2+a=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
Suy ra \(A\le\frac{1}{4}\).
Vậy MaxA = 1/4
(Với cách này không cần chỉ ra đẳng thức xảy ra vẫn được :)
