Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= x+\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x}}\) với x >0

Answer 1

Lời giải:

Bài này bạn sử dụng phương pháp tìm điểm rơi:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x^2+\frac{1}{x})(1+8)\geq (x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+\frac{1}{x}}\geq \frac{x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}}}{3}\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{4}{3}x+\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{x}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{4}{3}x+\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{x}}=\frac{4}{3}x+\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{x}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{3.3.3}}=2\)

Vậy \(A_{\min}=2\). Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$