Lời giải:
$P(x)=x^3+ax^2+bx+c=x(x^2+4x+4)-4x^2-4x+ax^2+bx+c$
$=x(x+2)^2+(a-4)(x^2+4x+4)-(a-4)(4x+4)-4x+bx+c$
$=x(x+2)^2+(a-4)(x+2)^2+x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
$=(x+a-4)(x+2)^2+x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
Vậy $P(x)$ chia $(x+2)^2$ có dư là $x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
Để đây là phép chia hết thì $x(12+b-4a)+(16+c-4a)=0$ với mọi $x$
Hay \(\left\{\begin{matrix} 12+b-4a=0\\ 16+c-4a=0\end{matrix}\right.(1)\)
$P(1)=1+a+b+c=4(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow$ \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{31}{9}\\ b=\frac{16}{9}\\ c=\frac{-20}{9}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
$P(x)=x^3+ax^2+bx+c=x(x^2+4x+4)-4x^2-4x+ax^2+bx+c$
$=x(x+2)^2+(a-4)(x^2+4x+4)-(a-4)(4x+4)-4x+bx+c$
$=x(x+2)^2+(a-4)(x+2)^2+x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
$=(x+a-4)(x+2)^2+x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
Vậy $P(x)$ chia $(x+2)^2$ có dư là $x(12+b-4a)+(16+c-4a)$
Để đây là phép chia hết thì $x(12+b-4a)+(16+c-4a)=0$ với mọi $x$
Hay \(\left\{\begin{matrix} 12+b-4a=0\\ 16+c-4a=0\end{matrix}\right.(1)\)
$P(1)=1+a+b+c=4(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow$ \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{31}{9}\\ b=\frac{16}{9}\\ c=\frac{-20}{9}\end{matrix}\right.\)
