Question

Tìm a \(\in\) N để đg thẳng (d) : y = 2ax + 1 ( a \(\ne\) 0 ) cắt (P) : y = 2x² tại 2 điểm phân biệt M,N và độ dài đoạn MN =\(\sqrt{15}\)

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:\(2x^2-2ax-1=0\)

Hai đths cắt nhau tại hai điểm $M,N$ thì điều kiện đầu tiên là:

\(\Delta'=a^2+2>0\) (luôn đúng)

Khi đó, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của PT thì áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Hai điểm $M,N$ thỏa mãn:\(M(x_1,2ax_1+1);N(x_2,2ax_2+1)\)

Ta có \(MN^2=(x_1-x_2)^2+(2ax_1+1-2ax_2-1)^2=15\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(1+4a^2)=15\)

Mà \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2+2\)

\(\Rightarrow (a^2+2)(4a^2+1)=15\)

Giải nghiệm ta thu được \(a=1\) thỏa mãn \(a\in\mathbb{N}\)

Vậy $a=1$