Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ai Ai

The polynomial x3 - ax2 + bx - 2010 has three positive integer roots. What's the smallest possible value of a?

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 15:35

Lời giải:

Vì $x^3-ax^2+bx-2010$ có 3 nghiệm nguyên dương nên ta có thể viết $x^3-ax^2+bx-2010=(x-m)(x-n)(x-p)$ với $m,n,p$ đôi một phân biệt, là các số nguyên dương- nghiệm của $f(x)$

Khai triển ta có:

$x^3-ax^2+bx-2010=x^3-x^2(m+n+p)+x(mn+mp+np)-mnp$

Đồng nhất hệ số thu được:

\(\left\{\begin{matrix} m+n+p=a\\ mnp=2010\end{matrix}\right.\)

Không mất tổng quát giả sử $m>n>p$ thì $m^3> mnp=2010\Rightarrow m\geq 12$ và $m= \frac{2010}{np}\leq \frac{2010}{1.2}=1005$

$m$ lại là ước của $2010$ nên ta suy ra $m$ có thể nhận các giá trị:

$m=134; m=15; m=201; m=335;m=402;m=30; m=1005; m=670$

Từ đây ta có những bộ số thỏa mãn là:

$(m,n,p)=(134; 15; 1); (134; 5;3); (201; 5;2); (201; 10;1); (335; 6; 1); (335; 3;2); (402; 5;1); (1005; 2;1)$

Từ đây kiểm tra xem bộ nào thỏa $a=m+n+p$ min ta thấy $a_{\min}=134+5+3=142$

 

 

 


Các câu hỏi tương tự
mimi
Xem chi tiết
No ri do
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Văn Hùng
Xem chi tiết
Thanh  Quốc
Xem chi tiết
La Ho Thi Minh Khue
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết
No ri do
Xem chi tiết
Đỗ Thị Thanh Thảo
Xem chi tiết
Đinh Tuấn Việt
Xem chi tiết