+ Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều (gt).
=> \(AB=AC=BC\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(BC=a\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC=BC=a.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABH\) và \(ACH\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
Cạnh AH chung
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> \(BH=CH\) (2 cạnh tương ứng).
=> H là trung điểm của \(BC.\)
=> \(BH=CH=\frac{1}{2}BC\) (tính chất trung điểm).
=> \(BH=CH=\frac{1}{2}a.\)
+ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(gt\right)\) có:
\(AB^2=AH^2+BH^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(a^2=AH^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2\)
=> \(AH^2=a^2-\left(\frac{1}{2}a\right)^2\)
=> \(AH^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
=> \(AH^2=a^2.\left(1-\frac{1}{4}\right)\)
=> \(AH^2=\frac{3}{4}a^2\)
=> \(AH=\sqrt{\frac{3}{4}}a\) (vì \(AH>0\)).
Vậy \(AH=\sqrt{\frac{3}{4}}a.\)
Chúc bạn học tốt!
