Question

\(\sqrt[3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}vớia\ge\dfrac{1}{8}\)

CHỨNG MINH BIỂU THỨC TRÊN LÀ SỐ TỤ NHIÊN

Answer 1

Đặt biểu thức trên là A

\(A^3=2a+3A\sqrt[3]{\left(a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}\right)\left(a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}\right)}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{a^2-\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2.\dfrac{8a-1}{3}}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{\dfrac{-8a^3+12a^2-6a+1}{27}}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{\left(\dfrac{1-2a}{3}\right)^3}=2a+A\left(1-2a\right)\)

\(\Leftrightarrow A^3-2a-A+2aA=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+2a\right)=0\)

Dễ thấy \(A^2+A+2a>0\) nên A=1.