Lời giải:
Đặt \(\sqrt[3]{1-x}=a; \sqrt[3]{1+x}=b\). Ta thu được hệ sau:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+3ab=5\\ a^3+b^3=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+3ab=5\\ (a+b)^3-3ab(a+b)=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3ab=5-(a+b)\\ (a+b)^3-3ab(a+b)=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a+b)^3-[5-(a+b)](a+b)=2\)
\(\Leftrightarrow t^3-5t+t^2=2\) (đặt $a+b=t$)
\(\Leftrightarrow t^3+t^2-5t-2=0\)
\(\Leftrightarrow (t-2)(t^2+3t+1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} t=2\\ t^2+3t+1=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(t=a+b=2\Rightarrow ab=\frac{5-(a+b)}{3}=\frac{5-2}{3}=1\)
Có \(1=ab=a(2-a)\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Leftrightarrow (a-1)^2=0\Leftrightarrow a=1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{1-x}=1\Rightarrow x=0\)
TH2:
\(t^2+3t+1=0\Rightarrow t=a+b=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow ab=\frac{5-(a+b)}{3}=\frac{13\pm \sqrt{5}}{6}\)
\(\Rightarrow (a-b)^2=(a+b)^2-4ab< 0\) (thay giá trị trên vào)- vô lý nên TH này loại
Vậy $x=1$
