Đặt \(x-y=c,y-z=a,z-x=b\) thì \(a+b+c=0\Rightarrow c=-a+b\) , ta có:
\(P=\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3=a^3+b^3+c^3\)
\(P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c^3\)
\(P=-c\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a+b\right)^2\)
\(P=c\left(-a^2-ab+b^2+a^2+2ab+b^2\right)\)
\(P=3abc=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right).\)
Hoặc cách khác:
Dễ dàng thấy x,y,z có thể hoán vị vòng quanh.Nên P chứa các nhân tử (x-y);(y-z);(z-x)
Sau khi phân tích P có dạng: \(k\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\) (*)
Cho x = 1;y=2;z=3: \(P=\left(1-2\right)^3+\left(2-3\right)^3+\left(3-1\right)^3=6\)
Thay vào (*),ta có: \(P=k\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=6\)
hay \(P=k\left(1-2\right)\left(2-3\right)\left(3-1\right)=6\)
Suy ra \(k=3\)
Thay k = 3 vào (*),ta phân tích được P thành nhân tử: \(P=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
Hoặc:
Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
\(P=a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=\left(x-y+y-z+z-x\right)^3+3\left(x-y+y-z\right)\left(y-z+z-x\right)\left(z-x+x-y\right)\)\(=3\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(z-y\right)\)???
cách thứ 2 của mình nhầm rồi :v.Chưa thuộc hằng đẳng thức mak,ms lớp 7 thôi!
Đặt x - y = a ; y - z =b; z - x = c
\(P=a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=\left(x-y+y-z+z-x\right)^3-3\left(x-y+y-z\right)\left(y-z+z-x\right)\left(z-x+x-y\right)\)\(=-3\left(x-z\right)\left(y-x\right)\left(z-y\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
