Question

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(\left(x^2+y^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3-\left(y^2+z^2\right)^3\)

b) \(a.\left(b+c\right)^2.\left(b-c\right)+b.\left(c+a\right)^2.\left(c-a\right)+c.\left(a+b\right)^2.\left(a-b\right)\)

c) \(a^3.\left(b-c\right)+b^3.\left(c-a\right)+c^3.\left(a-b\right)\)

Answer 1

1.

Đặt $x^2+y^2=a; z^2-x^2=b$ thì $y^2+z^2=a+b$

$(x^2+y^2)^3+(z^2-x^2)^3-(y^2+z^2)^3=a^3+b^3-(a+b)^3$

$=a^3+b^3-[a^3+b^3+3ab(a+b)]$

$=-3ab(a+b)=-3(x^2+y^2)(z^2-x^2)(y^2+z^2)$

$=3(x^2+y^2)(x-z)(x+z)(y^2+z^2)$

Answer 2

2.

$a(b+c)^2(b-c)+b(c+a)^2(c-a)+c(a+b)^2(a-b)$

$=(ab+ac)(b^2-c^2)+(bc+ba)(c^2-a^2)+(ca+cb)(a^2-b^2)$

$=(ab+ac)(b^2-c^2)-(bc+ba)[(b^2-c^2)+(a^2-b^2)]+(ca+cb)(a^2-b^2)$

$=(b^2-c^2)(ab+ac-bc-ba)+(a^2-b^2)(ca+cb-bc-ba)$

$=(b^2-c^2)(ac-bc)+(a^2-b^2)(ca-ba)$

$=(b-c)(b+c)c(a-b)-(a-b)(a+b)a(b-c)$

$=(a-b)(b-c)[c(b+c)-a(a+b)]$

$=(a-b)(b-c)[b(c-a)+(c^2-a^2)]=(a-b)(b-c)(c-a)(b+c+a)$

Answer 3

3.

$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$

$=a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)$

$=a^3(b-c)-b^3[(b-c)+(a-b)]+c^3(a-b)$

$=(b-c)(a^3-b^3)+(a-b)(c^3-b^3)$

$=(b-c)(a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b)(b-c)(b^2+bc+c^2)$

$=(b-c)(a-b)(a^2+ab+b^2-b^2-bc-c^2)$

$=(b-c)(a-b)(a^2+ab-bc-c^2)$

$=(b-c)(a-b)[(a^2-c^2)+b(a-c)]=(b-c)(a-b)(a-c)(a+c+b)$