Question

Một quả bóng đỏ và một quả bóng xanh được ném ngẫu nhiên và độc lập vào các hộp được đánh số nguyên dương sao cho xác suất để bóng rơi vào hộp đánh số k là 2^-k với k = 1, 2, 3, ... Hỏi xác suất để quả bóng đỏ được ném vào hộp được đánh số cao hơn quả bóng xanh là bao nhiêu?

Answer 1

bài này ta chia ra nhiều trường hợp nhé

TH1: bóng xanh rơi vào ô số 1

để thỏa mãn bài toán thì xác suất của TH này là : \(2^{-1}\left(2^{-2}+2^{-3}+...\right)\)

TH2: bóng xanh rơi vào ô số 2

để thỏa mãn bài toán thì xác suất của TH này là : \(2^{-2}\left(2^{-3}+2^{-4}+...\right)\)

........................................................................................................................................................

TH N : bóng xanh rơi vào ô số N

để thỏa mãn bài toán thì xác suất của TH này là :\(2^{-N}\left(2^{-\left(N+1\right)}+2^{-\left(N+2\right)}+...\right)\)

TỪ ĐÓ ta có thể thấy được xát suất để bóng đỏ được ném vào ô được đánh số cao hơn quả bóng xanh là : \(P=\left(2^{-1}+2^{-2}+...+2^{-N}\right)\left(2^{-\left(N+1\right)}+2^{-\left(N+2\right)}+...\right)+\left(2^{-1}.2^{-2}+2^{-2}.2^{-3}+...+2^{-\left(N-1\right)}.2^{-N}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^N}\right)\left(\frac{1}{2^{N+1}}+\frac{1}{2^{N+2}}+...\right)+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{2N-1}}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{1}{2}-1}\right)\left(\frac{0}{0-1}\right)+\left(\frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}-1}\right)=\frac{1}{7}\)