Question

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên \({L_1}\) và đoạn dốc xuống \({L_2}\) là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \({L_1}\) và  \({L_2}\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + bx + c,\) trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Answer 1

a, Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0;0) do đó ta có \(c=y\left(0\right)=0\)

b, \(y'=2ax+b\Rightarrow y'\left(0\right)=b\)

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc là 0,5 nên \(y'\left(0\right)=0,5\Rightarrow b=0,5\)

c, L₂  là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc -0,75 nên \(y'\left(x_Q\right)=2ax_Q+0,5=-0,75\)

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40m nên \(x_Q-x_P=x_Q=40\)

\(\Rightarrow2a\cdot40+0,5=-0,75\\ \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{64}\)

d, \(y_Q=-\dfrac{1}{64}\cdot40^2+0,5\cdot40=-5\)

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là \(\left|y_P-y_Q\right|=5\)