a)
Xét ΔABC có
K là trung điểm của AB(gt)
I là trung điểm của AC(gt)
Do đó: KI là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒KI//BC và \(KI=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC(gt)
⇒M là trung điểm của BC
\(\Rightarrow MC=MB=\frac{BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra KI//MC và KI=MC
Xét tứ giác MKIC có KI//MC(cmt) và KI=MC(cmt)
nên MKIC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b)Xét ΔACB có
I là trung điểm của AC(gt)
M là trung điểm của BC(cmt)
Do đó: MI là đường trung bình của ΔACB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MI//AB và \(MI=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(AK=\frac{AB}{2}\)(do K là trung điểm của AB)
nên MI=AK(3)
Xét ΔABC có
K là trung điểm của AB(gt)
M là trung điểm của BC(cmt)
Do đó: MK là đường trung bình của ΔACB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MK//AC và \(MK=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(AI=\frac{AC}{2}\)(do I là trung điểm của AC)
nên MK=AI(4)
Ta có: AB=AC(do ΔABC cân tại A)
⇒\(\frac{AB}{2}=\frac{AC}{2}\)
hay AK=AI(5)
Từ (3),(4) và (5) suy ra AK=AI=IM=MK
Xét tứ giác AKMI có AK=AI=IM=MK(cmt)
nên AKMI là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Để hình thoi AKMI là hình vuông thì \(\widehat{KAI}=90độ\)
hay \(\widehat{BAC}=90độ\)
Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90độ\)(cmt)
nên ΔABC vuông cân tại A
Vậy: Khi ΔABC vuông cân tại A thì hình thoi AKMI là hình vuông
