Bạn kiểm tra lại đề bài câu a, n=1 thì VT=1, VP=-1, nếu đề bài đúng thì vp phải là \(\dfrac{-\left(1\right)^{n-1}n\left(n+1\right)}{2}\)
\(n=1\Rightarrow VT=1=VP\)
Vậy mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề cũng đúng với \(n=k\left(k\in N\right)\), hay:
\(1^2-2^2+...+\left(-1\right)^{k-1}.k^2=\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}.k.\left(k+1\right)}{2}\)
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\) ,hay:
\(1^2-2^2+...+\left(-1\right)^{k-1}.k^2+\left(-1\right)^k.\left(k+1\right)^2=\dfrac{\left(-1\right)^k.\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)
That vay:
\(VT=\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}k\left(k+1\right)}{2}+\left(-1\right)^k.\left(k+1\right)^2=\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}.k.\left(k+1\right)+2\left(-1\right)^k\left(k+1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{\left(-1\right)^k\left(k+1\right)\left(-k+2k+2\right)}{2}=\dfrac{\left(-1\right)^k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}=VP\)
Vậy mệnh đề đúng với \(\forall n\in N\)
b/ \(n=7\Rightarrow VT=3^7=2187< 7!=5040\)
Vậy mệnh đề đúng với n=7
Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\left(k\in N;k\ge7\right)\),hay:
\(3^k\le k!\)
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\) ,hay:
\(3^{k+1}\le\left(k+1\right)!\)
That vay:
\(3^k.3\le\left(k+1\right).k!\)
\(k>6\Rightarrow k+1>6\Rightarrow k+1>3\)
Ma \(3^k\le k!\)
\(\Rightarrow3^k.3\le\left(k+1\right).k!\Leftrightarrow3^{k+1}\le\left(k+1\right)!\)
Vậy mệnh đề đúng với \(\forall n\in N;n>6\)
