Question

Mình bik làm bài này r nhưng dài quá

Cok ai giúp mik cách khác dc k

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=abc . tìm giá trị lớn nhất của bt

\(S=\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(a+b+c=abc\Rightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\)

\(\Rightarrow a^2+ab+ac+bc=a^2bc+bc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

Tương tự: \(\left\{\begin{matrix} ac(b^2+1)=(b+c)(b+a)\\ ab(c^2+1)=(c+a)(c+b)\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(S=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(A\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

\(\Leftrightarrow S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)