(Lưu ý: tất cả các bài này các bạn dùng chuyên đề Dirichlet để giải nhé)
a)Cho 5 số tự nhiên a1,a2,a3,a4,a5. Cmr tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng một số các số liên tiếp trong dãy số đã cho chia hết cho 5.
b)Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3.Cmr tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
(Xin lỗi bởi vì không có chủ đề câu hỏi phù hợp nên mình chọn đại nha
)
a, Trường hợp có một số bằng 0 thì ta chọn số 0 thoả mãn yêu cầu đề ra.
Trường hợp sáu số đều lớn hơn 0. Xét 6 số sau:
\(S_1=a_1\)
\(S_2=a_1+a_2\)
\(S_3=a_1+a_2+a_3\)
\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)
\(S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\)
Đem mỗi số này chia cho 5 ta nhận được số dư thuộc tập \(\left\{0;1;2;3;4\right\}\)
Nếu tồn tại \(S_i\left(i=1;2;3;4;5\right)\) chia hết cho 5 thì bài toàn đã được chứng minh.
Nếu không có \(S_i\) nào chia hết cho 5 thì ta có 5 số chia cho 5 chỉ nhận 4 loại số dư khác nhau \(\left(1;2;3;4\right)\); theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số chia cho 5 có cùng số dư, chẳng hạn là \(S_2\) và \(S_5\) do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 5, tức là \(a_3+a_4+a_5\) chia hết cho 6(đpcm)
( ở đây "thỏ" là các số \(S_i\) , "lồng" là các số dư cho phép chia cho 5)
Không biết có đúng không! Chúc bạn học tốt!!!
