Bạn coi lại đề bài
Đây có thể coi là 1 nguyên hàm không thân thiện (mình nghĩ cách duy nhất là khai triển toàn bộ nhị thức trên ra dạng đa thức rồi tìm nguyên hàm)
Nhưng chắc không ai cho đề như vậy cả
Hmm
Xét dãy: \(u_n=4^n+1\)
\(\Rightarrow u_n^2=\left(4^n+1\right)^2=4^{2n}+2.4^n+1=4^{2n}+\sqrt{\left(2.4^n+1\right)^2}\)
\(=4^{2n}+\sqrt{4.4^{2n}+4.4^n+1}=4^{2n}+\sqrt{4^{2n+1}+\left(4^{n+1}+1\right)}\)
\(=4^{2n}+\sqrt{4^{2n+1}+u_{n+1}}\)
\(\Rightarrow u_n=\sqrt{4^{2n}+\sqrt{4^{2n+1}+u_{n+1}}}\) (1)
Từ đó ta có: \(u_{n+1}=4^{2n+2}+\sqrt{4^{2n+3}+u_{n+2}}\)
Thế vào (1): \(\Rightarrow u_n=\sqrt{4^{2n}+\sqrt{4^{2n+1}+\sqrt{4^{2n+2}+\sqrt{4^{2n+3}+u_{n+2}}}}}\)
Tiếp tục thế \(u_{n+2}\) cho đến vô tận ta được:
\(u_n=\sqrt{4^{2n}+\sqrt{4^{2n+1}+\sqrt{4^{2n+2}+\sqrt{4^{2n+3}+\sqrt{...}}}}}\)
Thế \(n=1\) ta được:
\(5=\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+\sqrt{4^4+\sqrt{4^5+....}}}}\)
\(\Rightarrow3=\sqrt{4+5}=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+\sqrt{4^4+...}}}}\) (đpcm)
