\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\left(a+b\right)=2ab\)
\(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+bx+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+ax+b=0\left(1\right)\\x^2+bx+a=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\Delta_1=a^2-4b\) ; \(\Delta_2=b^2-4a\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4\left(a+b\right)=a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a;b\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) ko âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 2 pt (1) hoặc (2) có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho luôn có nghiệm