Question

Giúp em bài này đi ạ!!!!! >.<

1/(1+a^2)+1/(1+b^2) >= 2/(-1+ab) với ab>=1

Trong tối nay họac mai cx đc ạ,không thì thứ 2 cũng được

Answer 1

Lời giải:

Thực hiện biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2+1)(b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)ab+a^2+b^2+2(ab+1)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)ab+2ab\geq a^2+b^2+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$