Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{2x-3}\leq \frac{(2x-3)+1}{2}\)
\(\sqrt{5-2x}\leq \frac{(5-2x)+1}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 3x^2-12x+14=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\leq \frac{(2x-3)+1}{2}+\frac{(5-2x)+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 3x^2-12x+14\leq 2\Leftrightarrow 3(x-2)^2\leq 0\)
Mà ta luôn biết rằng \((x-2)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)
Do đó dấu bằng xảy ra khi \((x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\)
Thử lại thấy $x=2$ đúng là nghiệm của PT
\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\) \(\left(\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{5}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-1+\sqrt{5-2x}-1=3x^2-12x+12\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-3-1}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{5-2x-1}{\sqrt{5-2x}+1}=3\left(x-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{2\left(2-x\right)}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)\right]\left(x-2\right)=0\)
