Question

Giải phương trình : 

               \(x^{3000}+500x^3+1500x+1999=0\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x^{3000}\) và 2999 số 1, ta được :

\(x^{3000}+2999\ge3000\sqrt[3000]{x^{3000}}=3000\left|x\right|\ge-3000x\) (a)

Dấu bằng trong (a) xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

Tương tự : 

\(x^{3000}+999\ge1000\sqrt[1000]{x^{3000}}=1000\left|x\right|\ge-1000x\) (b)

Dấu bằng trong (b) xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

Từ (a) và (b), ta được :

   \(2x^{3000}+3998\ge-3000x-1000x^3\)

 \(\Leftrightarrow x^{3000}+500x^3+1500x+1999\ge0\)  (c)

Mà phương trình ban đầu nghĩa là dấu bằng xảy ra ở (c), tức là dấu ở (a) và (b) đồng thời xảy ra.

Vậy Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow x=-1\)

Đáp số : \(x=-1\)