ĐK: {x2y4+2xy2−y4+1≥0x≥y2≥0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
2−√(xy2+1)2−y4=2(3−√2)y2−2xy2
⇔√(xy2+1−y2)(xy2+1+y2)=2(1+xy2)−2(3−√2)y2(3)
Đặt {a=√xy2−y2+1≥0b=√xy2+y2+1≥1⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩xy2+1=a2+b22y2=b2−a22
Phương trình (3) trở thành:
ab=2.a2+b22−2(3−√2)b2−a22
⇔ab=a2+b2+(3−√2)(a2−b2)
⇔(4−√2)a2−ab−(2−√2)b2=0
⇔(4−√2)(ab)2−ab−2+√2=0
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ab=1√2ab=−√23+√2
Do a≥0,b≥1⇒ab=1√2
⇔xy2−y2+1xy2+y2+1=12⇔xy2−3y2+1=0(4)
Dễ thấy x≠3 (vì x = 3 thì (4) tương đương với 0 = 1. Vô lý)
Từ (4), suy ra: y2=−1x−3
Thế vào (2), ta được:
√x+1x−3=3−x
⇔{x≤3x3−10x2+30x−28=0⇔{x≤3(x−2)(x2−8x+14)=0
⇔⎧⎪⎨⎪⎩[x=2x=4±√2x≤3⇔[x=2x=4−√2
- Với x = 2, suy ra y=±−1
- Với x=4−√2⇒y=±√√2+1
