Question

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Đây nek Câu hỏi của nguyen don - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Answer 2

+> Lấy (x + y + z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = 1+2xy+2yz+2xz Mà (x + y + z)^2 = 1 => 2xy+2yz+2xz = 0 => xy+yz+xz = 0 => (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0 +> Lấy (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 1 + 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z Mà (x + y + z)^3 = 1 => 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 0 => 6xyz + 3(xy^2 + x^2y + x^2z + xz^2 + yz^2 + y^2z) = 0 => 6xyz + 3[xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z)] = 0 => 6xyz + 3[xy(1-z) + xz(1-y) + yz(1-x)] = 0 => 6xyz + 3(xy - xyz + xz - xyz + yz - xyz) = 0 Mà xy+yz+xz = 0 => 6xyz - 9xyz = 0 => xyz = 0 Mà (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0 => (xy+yz+xz)(x + y + z) = xyz => (xy+yz+xz)(x+y+z) - xyz = 0

Phân tích đa thức trên thành nhân tử, ta có (x+y)(y+z)(x+z) = 0 => x+y = 0 ; y+z = 0 ; x+z = 0 Có x^2017 + y^2017 + z^2017 = (x+y)(x^2017 -x^2016y+...+y^2017) + z^2017 (1)

= z^ 2017 Có x+y = 0 => x = -y => (x + y + z )^2017 = z^2017 (2)

Từ (1) và (2) = > x^2017 + y^2017 + z^2017 = (x + y + z )^2017 = 1