\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+5=y^3+3y^2+3y+1\left(1\right)\\3y+5=x^3+3x^2+3x+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) trừ (1), ta được:
\(x^3-y^3-3\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[x^2+xy+y^2-3x-3y\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2+18\right]=0\)
\(\Rightarrow x=y\) (Do \(\left(x+y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2+18>0\forall x,y\in R\))
Thay vào \(\sqrt[3]{3x+5}=y+1\), ta được:
\(3x+5=x^3+3x^2+3x+1\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=1\\x=y=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt có nghiệm là (1;1);(-2;-2).
Lập phương 2 pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x+5=\left(y+1\right)^3\\3y+5=\left(x+1\right)^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+5=y^3+3y^2+3y+1\\3y+5=x^3+3x^2+3x+1\end{matrix}\right.\)
Lấy pt dưới trừ pt trên, ta được:
\(x^3-y^3+3x^2-3y^2+3\left(x-y\right)+3\left(y-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(x-3\right)^2+18\right]=0\)(Đoạn này phân tích ra rồi nhóm lại thôi)
\(\Rightarrow x=y\) thay vào pt đầu tiên, ta được:
\(x^3+3x^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=1\\x=y=-2\end{matrix}\right.\)
