Question

Em cần lời giải chi tiết ạ. Em cảm ơn!

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Đặt AB=a, BC=b, CD=c, và DA=d. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+b+c+d}{2}< AC+BD< a+b+c+d\)

Answer 1

-Ta có: AE+EB>AB=a (bất đẳng thức trong tam giác AEB)

DE+EC>DC=c (bất đẳng thức trong tam giác DEC)

AE+DE>AD=d (bất đẳng thức trong tam giác AED)

BE+EC>BC=b (bất đẳng thức trong tam giác BEC)

=> AE+EB+DE+EC+AE+DE+BE+EC>a+b+c+d.

=> AC+BD+AC+BD>a+b+c+d.

=> 2(AC+BD)>a+b+c+d

=> AC+BD >\(\dfrac{a+b+c+d}{2}\)(1)

Ta có: AC<AB+BC=a+b (bất đẳng thức trong tam giác ABC)

AC<AD+DC=c+d (bất đẳng thức trong tam giác ADC)

BD< AB+AD=a+d (bất đẳng thức trong tam giác ABD)

BD< BC+DC=b+c (bất đẳng thức trong tam giác BCD)

=>2(AC+BD)<2(a+b+c+d)

=>AC+BD<a+b+c+d. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{a+b+c+d}{2}< AC+BD< a+b+c+d\)