Question

CMR:\(\sqrt{3}\)+1 là số vô tỉ

Answer 1

Giả sử \(\sqrt{3}+1\) là số hữu tỉ

Vì 1 là số hữu tỉ nên \(\sqrt{3}\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{m}{n}\left(m;n\in Z;n\ne0\right)\) (|m|; |n|)=1

\(\Rightarrow\frac{m^2}{n^2}=3\)

=> 3.n² = m²

Giả sử p là ước nguyên tố của n => m² chia hết cho p

Mà p nguyên tố nên m chia hết cho p

Lúc này, ƯCLN(|m|; |n|) = p, khác 1, trái với giả sử

=> \(\sqrt{3}+1\) là số vô tỉ (đpcm)